奇函数常用题解题技巧(你不熟知的奇函数妙用)

日期:2024-11-16 16:00:53 浏览: 查看评论 加入收藏

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奇函数常用题解题技巧(你不熟知的奇函数妙用)(1)

已知函数f(x)=(x-2x)sin(x-1)+x+1在[-1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+N=______

解析:

当题目出现一串很复杂的函数时,又告诉你最大值为一个符号,最小值也是一个符号时,这种题目其实是在考察奇函数

我们来思考一下,什么是奇函数呢?

①首先,这个函数定义域要关于原点对称

②其次,这个函数要满足f(-x)=-f(x)

好的,我们再来思考一下,如果一个奇函数的最大值+最小值,它会等于多少呢?

答案是:0

奇函数图象是不是要关于原点对称呢,当我f(-x)取到最大值时,是不是我f(x)就要取到最小值呢?

奇函数常用题解题技巧(你不熟知的奇函数妙用)(2)

而我们奇函数满足f(-x)=-f(x),即f(-x)-f(x)=0

∴奇函数的最大值-最小值=0

当我们知道这个条件以后,我们来看看这道题目应该如何做呢?

题目告诉我们f(x)=(x-2x)sin(x-1)+x+1,定义域为[-1,3]

我们刚刚说过奇函数定义域一定要关于原点对称,而这时题目给我们的定义域是[-1,3],没有关于原点对称,我们应该怎么办呢?

我们来仔细看一下这个方程

f(x)=(x-2x)sin(x-1)+x+1

这个方程中有个sin(x-1),这个是sinx向右平移的一个函数,没有奇偶性,但我们可以把它变成一个有奇偶性的表达式,怎么变的呢?

我们来假设一下,令t=x-1,t定义域∈[-2,2],定义域是不是关于原点对称了呢

则是不是可以将sin(x-1)=sint,而这时sint是不是变成了一个有奇偶性的表达式了呢?

所以这道题,首先我们要将f(x)转化成f(t+1)

f(t+1)=[(t+1)-2(t+1)]sint+t+2

=[(t+1)(t-1)]sint+t+2

=(t-1)sint+t+2

=tsint-sint+t+2

而这时我们可以看到f(t+1)=tsint-sint+t+2=奇函数-奇函数+奇函数+2=奇函数+2

这时当我最大值f(t+1)+最小值f(t+1)会等于多少呢?

=奇函数最大值+2+奇函数最小值+2

=奇函数最大值+最小值+4

我们刚刚已经证明过奇函数最大值+最小值=0

∴我们要求的M+N=4

这道题我们学会了,但是如果题目改一下,你是否会呢?

练习:

奇函数常用题解题技巧(你不熟知的奇函数妙用)(3)

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