三角形几何图形

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。 常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

中文名

三角形

外文名

triangle

英文名

Triangle

别称

三边形

应用学科

数学

适用领域范围

数学、物理学、建筑学、工程学

基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

分类

按角度分

a.锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。 并三条高交于一点。

b.直角三角形（简称Rt 三角形）：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；

（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；

（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2＋b^2=c^2（勾股定理）；

（6）斜边上的中线是外接圆半径；

（7）有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。 (非直角三角形也称斜三角形，包括锐角三角形、钝角三角形)。

（8）在直角三角形中，斜边的长度是直角对应的两条直角边的2^1/2倍。

（9）直角三角形的两条高是那两条直角边。

c.钝角三角形：有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于90°且小于180°，并有两条高不在三角形里面。

d.正三角形：三个角度数相等（即三角都为60度），三条边也相等，也称等边三角形。

按边长分

a.等腰三角形：两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形，即等边三角形，和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，两条相等的边称为“腰”，第三边叫做“底边”，腰对应的角（称为底角）也是相等的。

b.不等边三角形：三条边均不相等的三角形（此解释有误，因为等腰三角形也不是等边三角形，应改为：三条变不均相等的三角形。）。

特殊三角形

退化三角形：面积为零的三角形。（退化三角形按照狭义的三角形定义其实不属于三角形。）

周长公式

若一个三角形的三边分别为a、b、c，则L=a+b+c

四线

中线

连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高

从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线

三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。切记，中位线没有逆定理。

边角关系

三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

三角函数是数学中属于初等函数中超越函数的一类。请参考相关词条。

特殊点、线

五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

五心的距离

OH²=9R²–(a²+b²+c²),

OG²=R²–(a²+b²+c²)/9,

OI²=R²–abc/(a+b+c)=R²–2Rr

GH²=4OG²

GI²=(p²+5r²–16Rr)/9,

HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-(a²+b²+c²)/2,

其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。

稳定性

在所有平面多边形中，唯三角形具稳定性。

证明

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∴第三条边不可伸缩或弯折

∴两端点距离固定

∴这两条边的夹角固定

∵这两条边是任取的

∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定

∴三角形有稳定性

任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接

∴两端点距离不固定

∴这两边夹角不固定

∴n边形（n≥4）每个角都不固定

∴n边形（n≥4）没有稳定性

证毕。

作用

三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，埃及金字塔等等。

有关定理

中位线定理

中线定理

三角形内角和定理

三边关系定理

勾股定理

射影定理

正弦定理

余弦定理

梅涅劳斯定理

塞瓦定理

莫利定理

共角定理

重心定理

内心定理

旁心定理

欧拉线定理

费尔巴哈定理

拿破仑定理

相关定理

重心定理

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上述交点叫做三角形的重心.

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心.

垂心定理

三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心.

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．

它们都是三角形的重要相关点．

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c² 。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。[1]

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明：

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证明：

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①

而由△ABD被直线COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

参考资料

1.勾股定理的介绍：·繁体字网